1. Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной
оси Z. Разобьем все тело на множество элементарных масс m i
. Линейная скорость элементарной массы m i
– v i = w·R i
, где R i
– расстояние массы m i
от оси вращения. Следовательно, кинетическая энергия i
-ой элементарной массы будет равна 
. Полная кинетическая энергия тела: 
, здесь – момент инерции тела относительно оси вращения.
Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси равна:
2. Пусть теперь тело вращается
относительно некоторой оси, а сама ось перемещается
поступательно, оставаясь параллельной самой себе.
НАПРИМЕР: Катящийся без скольжения шар совершает вращательное движение, а центр тяжести его, через который проходит ось вращения (точка «О») перемещается поступательно (рис.4.17).
Скорость i
-той элементарной массы тела равна 
, где – скорость некоторой точки «О» тела; – радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке «О».
Кинетическая энергия элементарной массы равна:
ЗАМЕЧАНИЕ: векторное произведение совпадает по направлению с вектором и имеет модуль, равный (рис.4.18).
Учтя это замечание, можно записать, что 
, где – расстояние массы от оси вращения. Во втором слагаемом сделаем циклическую перестановку сомножителей, после этого получим
Чтобы получить полную кинетическую энергию тела, просуммируем это выражение по всем элементарным массам, вынося постоянные множители за знак суммы. Получим
Сумма элементарных масс есть масса тела «m». Выражение равно произведению массы тела на радиус-вектор центра инерции тела (по определению центра инерции). Наконец, – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку «О». Поэтому можно записать
.
Если в качестве точки «O» взять центр инерции тела «С», радиус-вектор будет равен нулю и второе слагаемое исчезнет. Тогда, обозначив через – скорость центра инерции, а через – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку «С», получим:
(4.6)
Таким образом, кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра инерции, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела.
Работа внешних сил при вращательном движении твердого тела.
Найдем работу, которую совершают силы при вращении тела вокруг неподвижной оси Z.
Пусть на массу действуют внутренняя сила и внешняя сила (результирующая сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения) (рис. 4.19). Эти силы совершают за время dt работу:
Осуществив в смешанных произведениях векторов циклическую перестановку сомножителей, находим:
где , – соответственно, моменты внутренней и внешней сил относительно точки «О».
Просуммировав по всем элементарным массам, получим элементарную работу, совершаемую над телом за время dt :
Сумма моментов внутренних сил равна нулю. Тогда, обозначив суммарный момент внешних сил через , придем к выражению:
.
Известно, что скалярным произведением двух векторов называется скаляр, равный произведению модуля одного из перемножаемых векторов на проекцию второго на направление первого, учтя, что , (направления оси Z и совпадают), получим
,
но w·dt =d j, т.е. угол, на который поворачивается тело за время dt . Поэтому
.
Знак работы зависит от знака M z , т.е. от знака проекции вектора на направление вектора .
Итак, при вращении тела внутренние силы работы не совершают, а работа внешних сил определяется формулой 
.
Работа за конечный промежуток времени находится путем интегрирования
.
Если проекция результирующего момента внешних сил на направление остается постоянной, то ее можно вынести за знак интеграла:
, т.е. .
Т.е. работа внешней силы при вращательном движении тела равна произведению проекции момента внешней силы на направление и угол поворота.
С другой стороны работа внешней силы, действующей на тело идет на приращение кинетической энергии тела (или равна изменению кинетической энергии вращающегося тела). Покажем это:
;
Следовательно,
. (4.7)
Самостоятельно:
Упругие силы;
Закон Гука.
| ЛЕКЦИЯ 7 |
Гидродинамика
Линии и трубки тока.
Гидродинамика изучает движение жидкостей, однако ее законы примени- мы и к движению газов. При стационарном течении жидкости скорость ее частиц в каждой точке пространства есть величина, независимая от времени и являющаяся функцией координат. При стационарном течении траектории частиц жидкости образуют линию тока. Совокупность линий тока образует трубку тока (рис. 5.1). Будем считать жидкость несжимаемой, тогда объем жидкости, протекающей через сечения S
1 и S
2 , будет одинаков. За секунду через эти сечения пройдет объем жидкости, равный
, (5.1)
где и - скорости жидкости в сечениях S 1 и S 2 , а вектора и определяются как и , где и - нормали к сечениям S 1 и S 2 . Уравнение (5.1) называют уравнением неразрывности струи. Из него следует, что скорость жидкости обратно пропорциональна сечению трубки тока.
Уравнение Бернулли.
Будем рассматривать идеальную несжимаемую жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) отсутствует. Выделим в стационарно текущей жидкости тонкую трубку тока (рис. 5.2) с сечениями S 1
и S 2
, перпендикулярными к линиям тока. В сечении 1
за малое время t
частицы сместятся на расстояние l 1
, а в сечении 2
- на расстояние l 2
. Через оба сечения за время t
пройдут одинаковые малые объемы жидкости V
= V 1
= V 2
и перенесут массу жидкости m=rV
, где r
- плотность жидкости. В целом изменение механической энергии всей жидкости в трубке тока между сечениями S 1
и S 2
, произошедшее за время t
, можно заменить изменением энергии объема V
, произошедшим при его перемещении от сечения 1 до сечения 2 . При таком движении изменится кинетическая и потенциальная энергия этого объема, и полное изменение его энергии
, (5.2)
где v 1 и v 2 - скорости частичек жидкости в сечениях S 1 и S 2 соответственно; g - ускорение земного притяжения; h 1 и h 2 - высоты центра сечений.
В идеальной жидкости потери на трение отсутствуют, поэтому приращение энергии DE должно быть равно работе, совершаемой силами давления над выделенным объемом. При отсутствии сил трения эта работа:
Приравнивая правые части равенств (5.2) и (5.3) и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим
. (5.4)
Сечения трубки S 1 и S 2 были взяты произвольно, поэтому можно утверждать, что в любом сечении трубки тока справедливо выражение
. (5.5)
Уравнение (5.5) называется уравнением Бернулли. Для горизонтальной линии тока h = const , и равенство (5.4) приобретает вид
r /2 + p 1 = r· /2 + p 2 , (5.6)
т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.
Силы внутреннего трения.
Реальной жидкости присуща вязкость, которая проявляется в том, что любое движение жидкости и газа самопроизвольно прекращается при отсутствии причин, вызвавших его. Рассмотрим опыт, в котором слой жидкости расположен над неподвижной поверхностью, а сверху его перемещается со скоростью , плавающая на ней пластина с поверхностью S
(рис. 5.3). Опыт показывает, что для перемещения пластины с постоянной скоростью необходимо действовать на нее с силой . Так как пластина не получает ускорения, значит, действие этой силы уравновешивается другой, равной ей по величине и противоположно направленной силой, которая является силой трения .
Ньютон показал, что сила трения
, (5.7)
где d - толщина слоя жидкости, h - коэффициент вязкости или коэффициент трения жидкости, знак минус учитывает различное направление векторов F тр и v o . Если исследовать скорость частиц жидкости в разных местах слоя, то оказывается, что она изменяется по линейному закону (рис. 5.3):
v(z) = = (v 0 /d)·z.
Дифференцируя это равенство, получим dv/dz = v 0 /d . С учетом этого
| |
F тр =- h(dv/dz)S , (5.8)
где h - коэффициент динамической вязкости . Величина dv/dz называется градиентом скорости. Она показывает, как быстро изменяется скорость в направлении оси z . При dv/dz = const градиент скорости численно равен изменению скорости v при изменении z на единицу. Положим численно в формуле (5.8) dv/dz = -1 и S = 1, получим h = F . Отсюда следует физический смысл h : коэффициент вязкости численно равен силе, которая действует на слой жидкости единичной площади при градиенте скорости, равном единице. Единица вязкости в СИ называется паскаль-секундой (обозначается Па с). В системе СГС единицей вязкости является 1 пуаз (П), причем 1 Па с = 10П.
Механика.
Вопрос №1
Система отсчёта. Инерциальные системы отсчёта. Принцип относительности Галилея - Эйнштейна.
Система отсчёта - это совокупность тел по отношению к которым описывается движение данного тела и связанная с ним система координат.
Инерциальная система отсчёта (ИСО) - это система, в которой свободно движущееся тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
Принцип относительности Галилея - Эйнштейна - Все явления природы в любой инерциальной системе отсчёта происходят одинаково и имеют одинаковый математический вид. Другими словами все ИСО равноправны.
Вопрос №2
Уравнение движения. Виды движения твёрдого тела. Основная задача кинематики.
Уравнения движения материальной точки:
- кинематическое уравнение движения
Виды движения твёрдого тела:
1) Поступательное движение - любая прямая проведённая в теле перемещается параллельно самой себе.
2) Вращательно движение - любая точка тела движется по окружности.
φ = φ(t)
Основная задача кинематики - это получение зависимостей от времени скорости V= V(t) и координат (или радиуса-вектора) r = r(t) материальной точки из известной зависимости от времени ее ускорения a = a(t) и известных начальных условий V 0 и r 0 .
Вопрос №7
И́мпульс (Количество движения ) - векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этой точки на её скорость v , направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:
В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости
В случае, если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты , то в силу уравнений Лагранжа .
Для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид: , отсюда:
Независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве следует из свойства однородности пространства : для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства мы её поместим. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины. Эту величину и называют импульсом (обычным, не обобщённым).
В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:
соответственно величина называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с)
Если мы имеем дело с телом конечного размера, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками и просуммировать по ним, в результате получим:
Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:
Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).
В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина
,
где m i - масса i -й материальной точки.
Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как
На практике часто применяются следующие соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:
В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.
Вопрос №8
Момент инерции - скалярная физическая величина, мера инерции тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества
Осевой момент инерции
Осевые моменты инерции некоторых тел.
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J a , равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
,
- m i - масса i -й точки,
- r i - расстояние от i -й точки до оси.
Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
,
- dm = ρdV - масса малого элемента объёма тела dV ,
- ρ - плотность,
- r - расстояние от элемента dV до оси a.
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Вывод формулы
dm и моментами инерции dJ i . Тогда
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Теорема Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
Если - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен
,
где - полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
Энергия вращательного движения
Кинетическая энергия вращательного движения - энергия тела, связанная с его вращением.
Основные кинематические характеристики вращательного движения тела - его угловая скорость (ω) и угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения - момент импульса относительно оси вращения z:
K z = I z ω
и кинетическая энергия
где I z - момент инерции тела относительно оси вращения.
Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I 1 , I 2 и I 3 . Вращательная энергия такой молекулы задана выражением
где ω 1 , ω 2 , и ω 3 - главные компоненты угловой скорости.
В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находится по формуле:
, где I
- тензор инерции.
Вопрос №9
Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения ) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.
Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно - если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).
Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой непПроизводная момента импульса по времени есть момент силы:
Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:
где - момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).
Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол , радиус-вектор частицы с номером изменятся на , а скорости - . Функция Лагранжа системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому
Рассмотрим вначале твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси OZ с угловой скоростью ω (рис.5.6). Разобьем тело на элементарные массы . Линейная скорость элементарной массы равна , где - ее расстояние от оси вращения. Кинетическая энергия i -той элементарной массы будет равна
.
Кинетическая энергия всего тела слагается из кинетических энергий его частей, поэтому
.
Учитывая то, что сумма в правой части этого соотношения представляет момент инерции тела относительно оси вращения, получим окончательно
. (5.30)
Формулы кинетической энергии вращающегося тела (5.30) подобны соответствующим формулам для кинетической энергии поступательного движения тела. Они получаются из последних формальной заменой 
.
В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы движений – поступательного со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. В этом случае выражение для кинетической энергии тела принимает вид
.
Найдем теперь работу, совершаемую моментом внешних сил, при вращении твердого тела. Элементарная работа внешних сил за время dt будет равна изменению кинетической энергии тела
Взяв дифференциал от кинетической энергии вращательного движения, найдем ее приращение
.
В соответствии с основным уравнением динамики для вращательного движения
С учетом данных соотношений, приведем выражение элементарной работы к виду
где - проекция результирующего момента внешних сил на направление оси вращения OZ, - угол поворота тела за рассматриваемый промежуток времени.
Интегрируя (5.31), получим формулу для работы внешних сил, действующих на вращающееся тело
В случае, если , то формула упрощается
Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела относительно неподвижной оси определяется действием проекции момента этих сил на данную ось.
Гироскоп
Гироскопом называется быстро вращающееся симметричное тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Чтобы ось гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, гироскоп помещают в так называемом кардановом подвесе (рис.5.13). Маховик гироскопа вращается во внутренней кольцевой обойме вокруг оси С 1 С 2 , проходящей через его центр тяжести. Внутренняя обойма в свою очередь может вращаться во внешней обойме вокруг оси В 1 В 2 , перпендикулярной к С 1 С 2 . Наконец, наружная обойма может свободно вращаться в подшипниках стойки вокруг оси А 1 А 2 , перпендикулярной к осям С 1 С 2 и В 1 В 2 . Все три оси пересекаются в некоторой неподвижной точке О, называемой центром подвеса или точкой опоры гироскопа. Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы и, следовательно, может совершать любые повороты вокруг центра подвеса. Если центр подвеса гироскопа совпадает с его центром тяжести, то результирующий момент сил тяжести всех частей гироскопа относительно центра подвеса равен нулю. Такой гироскоп называют уравновешенным.
Рассмотрим теперь наиболее важные свойства гироскопа, которые и нашли ему широкое применение в различных областях.
1) Устойчивость.
При любых поворотах стойки уравновешенного гироскопа его ось вращения сохраняет неизменное направление по отношению к лабораторной системе отсчета. Это связано с тем, что момент всех внешних сил, равный моменту сил трения, очень мал и практически не вызывает изменения момента импульса гироскопа, т.е.
Поскольку момент импульса направлен вдоль оси вращения гироскопа, то ее ориентация должна сохраняться неизменной.
Если внешняя сила действует в течение короткого времени, то интеграл, определяющий приращение момента импульса, будет мал
. (5.34)
Значит, при кратковременных воздействиях даже больших сил движение уравновешенного гироскопа изменяется мало. Гироскоп как бы сопротивляется всяким попыткам изменить величину и направление его момента импульса. С этим и связана замечательная устойчивость, которую приобретает движение гироскопа после приведения его в быстрое вращение. Это свойство гироскопа широко используется для автоматического управления движением самолетов, судов, ракет и прочих аппаратов.
Если же действовать на гироскоп длительное время постоянным по направлению моментом внешних сил, то ось гироскопа устанавливается, в конце концов, по направлению момента внешних сил. Данное явление используется в гирокомпасе. Этот прибор представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Вследствие суточного вращения Земли и действия момента центробежных сил ось гироскопа поворачивается так, чтобы угол между и стал минимальным (рис.5.14). Это соответствует положению оси гироскопа в плоскости меридиана.
2). Гироскопический эффект.
Если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил и , стремящуюся повернуть его около оси, перпендикулярной оси вращения, то он станет поворачиваться вокруг третьей оси, перпендикулярной к первым двум (рис.5.15). Такое необычное поведение гироскопа получило название гироскопического эффекта. Оно объясняется тем, что момент пары сил направлен вдоль оси О 1 О 1 и изменение за время вектора на величину будет иметь тоже направление. В результате новый вектор повернется относительно оси О 2 О 2 . Таким образом, противоестественное на первый взгляд поведение гироскопа полностью соответствует законам динамики вращательного движения
3). Прецессия гироскопа.
Прецессией гироскопа называется конусообразное движение его оси. Оно происходит в том случае, когда момент внешних сил, оставаясь постоянным по величине, поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время прямой угол. Для демонстрации прецессии может служить велосипедное колесо с наращенной осью, приведенное в быстрое вращение (рис.5.16).
Если колесо подвесить за наращенный конец оси, то его ось начнет прецессировать вокруг вертикальной оси под действием собственного веса. Демонстрацией прецессии может служить и быстро вращающийся волчок.
Выясним причины прецессии гироскопа. Рассмотрим неуравновешенный гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться вокруг некоторой точки О (рис.5.16). Момент сил тяжести, приложенный к гироскопу, равен по величине
где - масса гироскопа, - расстояние от точки О до цента масс гироскопа, - угол, образованный осью гироскопа с вертикалью. Вектор направлен перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа.
Под действием этого момента момент импульса гироскопа (его начало помещено в точку О) получит за время приращение , а вертикальная плоскость, проходящая через ось гироскопа, повернется на угол . Вектор все время перпендикулярен к , следовательно, не изменяясь по величине, вектор изменяется только по направлению. При этом спустя время взаимное расположение векторов и будет таким же, как и в начальный момент. В итоге ось гироскопа будет непрерывно поворачиваться вокруг вертикали, описывая конус. Такое движение называется прецессией.
Определим угловую скорость прецессии. Согласно рис.5.16 угол поворота плоскости, проходящей через ось конуса и ось гироскопа, равен
где - момент импульса гироскопа, а - его приращение за время .
Разделив на , с учетом отмеченных соотношений и преобразований, получим угловую скорость прецессии
. (5.35)
Для гироскопов, применяющихся в технике, угловая скорость прецессии бывает в миллионы раз меньше скорости вращения гироскопа .
В заключении отметим, что явление прецессии наблюдается и у атомов вследствие орбитального движения электронов.
Примеры применения законов динамики
При вращательном движении
1. Рассмотрим некоторые примеры на закон сохранения момента импульса, которые можно осуществить с помощью скамьи Жуковского. В простейшем случае скамья Жуковского представляет собой платформу в форме диска (кресло), который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси на шариковых подшипниках (рис.5.17). Демонстратор садится или становится на скамью, после чего ее приводят во вращательное движение. Вследствие того, что силы трения благодаря применению подшипников очень малы, момент импульса системы, состоящей из скамьи и демонстратора, относительно оси вращения не может меняться во времени, если система предоставлена самой себе. Если демонстратор держит в руках тяжелые гантели и разводит руки в стороны, то он увеличит момент инерции системы, а потому должна уменьшится угловая скорость вращения, чтобы остался неизменным момент импульса.
По закону сохранения момента импульса составим уравнение для данного случая
где - момент инерции человека и скамьи, и - момент инерции гантелей в первом и втором положениях, и - угловые скорости системы.
Угловая скорость вращения системы при разведении гантелей в сторону будет равна
.
Работу, совершенную человеком при перемещении гантелей, можно определить через изменение кинетической энергии системы
2. Приведем еще один опыт со скамьей Жуковского. Демонстратор садится или становится на скамью и ему передают быстро вращающееся колесо с вертикально направленной осью (рис.5.18). Затем демонстратор поворачивает колесо на 180 0 . При этом изменение момента импульса колеса целиком передается скамье и демонстратору. В результате скамья вместе с демонстратором приходит во вращение с угловой скоростью, определяемой на основании закона сохранения момента импульса.
Момент импульса системы в начальном состоянии определяется только моментом импульса колеса и равен
где - момент инерции колеса, - угловая скорость его вращения.
После поворота колеса на угол 180 0 момент импульса системы будет уже определяться суммой момента импульса скамьи с человеком и момента импульса колеса. С учетом того, что вектор момента импульса колеса изменил свое направление на противоположное, а его проекция на вертикальную ось стала отрицательной, получим
,
где - момент инерции системы «человек-платформа», - угловая скорость вращения скамьи с человеком.
По закону сохранения момента импульса
и 
.
В итоге, находим скорость вращения скамьи
3. Тонкий стержень массой m и длиной l вращается с угловой скоростью ω=10 с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.
В данной задаче за счет того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменяется. В соответствии с законом сохранения момента импульса изолированной системы, имеем
Здесь - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через середину стержня; 
- момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и найденный по теореме Штейнера.
Подставляя данные выражения в закон сохранения момента импульса, получим
,
.
4. Стержень длиной L =1,5 м и массой m 1 =10 кг подвешен шарнирно за верхний конец. В середину стержня ударяет пуля массой m 2 =10 г, летящая горизонтально со скоростью =500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?
Представим на рис. 5.19. систему взаимодействующих тел «стержень-пуля». Моменты внешних сил (сила тяжести, реакция оси) в момент удара равны нулю, поэтому можем воспользоваться законом сохранения момента импульса
Момент импульса системы до удара равен моменту импульса пули относительно точки подвеса
Момент импульса системы после неупругого удара определится по формуле
,
где - момент инерции стержня относительно точки подвеса, - момент инерции пули, - угловая скорость стержня с пулей непосредственно после удара.
Решая после подстановки полученное уравнение, найдем
.
Воспользуемся теперь законом сохранения механической энергии. Приравняем кинетическую энергию стержня после попадания в него пули его потенциальной энергии в наивысшей точке подъема:
,
где - высота поднятия центра масс данной системы.
Проведя необходимые преобразования, получим
Угол отклонения стержня связан с величиной соотношением
.
Проведя вычисления, получим =0,1p=18 0 .
5. Определить ускорения тел и натяжения нити на машине Атвуда, предполагая, что (рис.5.20). Момент инерции блока относительно оси вращения равен I , радиус блока r . Массой нити пренебречь.
Расставим все силы, действующие на грузы и блок, и составим для них уравнения динамики
Если нет проскальзывания нити по блоку, то линейное и угловое ускорение связаны между собой соотношением
Решая эти уравнения, получим
После чего находим T 1 и T 2 .
6. К шкиву креста Обербека (рис.5.21) прикреплена нить, к которой подвешен груз массой M
= 0,5 кг. Определить за какое время груз опускается с высоты h
=1 м до нижнего положения. Радиус шкива r
=3 см. На кресте укреплены четыре груза массой m
=250 г каждый на расстоянии R
= 30 см от его оси. Моментом инерции самого креста и шкива пренебречь по сравнению с моментом инерции грузов.
Начнем с рассмотрения вращения тела вокруг неоодвижной оси которую мы назовем осью z (рис. 41.1). Линейная скорость элементарной массы равна где - расстояние массы от оси . Следовательно для кинетической энергии элементарной массы получается выражение
Кинетическая энергия тела слагается из кинетических энергий его частей:
Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела 1 относительно оси вращения. образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равна
Пусть на массу действуют внутренняя сила и внешняя сила (см. рис. 41.1). Согласно (20.5) эти силы совершат за время работу
Осуществив в смешанных произведениях векторов циклическую перестановку сомножителей (см. (2.34)), получим:
где N - момент внутренней силы относительно точки О, N - аналогичный момент внешней силы.
Просуммировав выражение (41.2) по всем элементарным массам, получим элементарную работу, совершаемую над телом за время dt:
Сумма моментов внутренних сил равна нулю (см. (29.12)). Следовательно, обозначив суммарный момент внешних сил через N придем к выражению
(мы воспользовались формулой (2.21)).
Наконец, приняв во внимание, что есть угол на который поворачивается тело за время получим:
Знак работы зависит от знака т. е. от знака проекции вектора N на направление вектора
Итак, при вращении тела внутренние силы работы не совершают, работа же внешних сил определяется формулой (41.4).
К формуле (41.4) можно прийти, воспользовавшись тем, что работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идет на приращение его кинетической энергии (см. (19.11)). Взяв дифференциал от обеих частей равенства (41.1), придем к соотношению
Согласно уравнению (38.8) так что, заменив через придем к формуле (41.4).
Таблица 41.1
В табл. 41.1 сопоставлены формулы механики вращательного движений с аналогичными формулами механики поступательного движения (механики точки). Из этого сопоставления легко заключить, что во всех случаях роль массы играет момент инерции, роль силы момент силы, роль импульса - момент импульса и т. д.
Формулу. (41.1) мы получили для случая, когда тело вращается вокруг неподвижной фиксированной в теле оси. Теперь допустим что тело вращается произвольным образом относительно неподвижной точки, совпадающей с его центром масс.
Свяжем жестко с телом декартову систему координат, начало которой поместим в центр масс тела. Скорость i-й элементарный массы равна Следовательно, для кинетической энергии тела, можно написать выражение
где - угол между векторами Заменив а через и учтя, что получим:
Распишем скалярные произведения через проекции векторов на оси связанной с телом координатной системы:
Наконец, объединив слагаемые с одинаковыми произведениями компонент угловой скорости и вынеся эти произведения за знаки сумм, получим: так что формула (41.7) принимает вид (ср. с (41.1)). При вращении произвольного тела вокруг одной из главных осей инерции, скажем оси и формула (41.7) переходит в (41.10.
Таким, образом. кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции на квадрат угловой скорости в трех случаях: 1) для тела вращающегося вокруг неподвижной оси; 2) для тела вращающегося вокруг одной из главных осей инерции; 3) для шарового волчка. В остальных случаях кинетическая энергия определяется белее сложными формулами (41.5) или (41.7).
«Физика - 10 класс»
Почему для увеличения угловой скорости вращения фигурист вытягивается вдоль оси вращения.
Должен ли вращаться вертолёт при вращении его винта?
Заданные вопросы наводят на мысль о том, что если на тело не действуют внешние силы или действие их скомпенсировано и одна часть тела начинает вращение в одну сторону, то другая часть должна вращаться в другую сторону, подобно тому как при выбросе горючего из ракеты сама ракета движется в противоположную сторону.
Момент импульса.
Если рассмотреть вращающийся диск, то становится очевидным, что суммарный импульс диска равен нулю, так как любой частице тела соответствует частица, движущаяся с равной по модулю скоростью, но в противоположном направлении (рис. 6.9).
Но диск движется, угловая скорость вращения всех частиц одинакова. Однако ясно, что чем дальше находится частица от оси вращения, тем больше её импульс. Следовательно, для вращательного движения надо ввести ещё одну характеристику, подобную импульсу, - момент импульса.
Моментом импульса частицы, движущейся по окружности, называют произведение импульса частицы на расстояние от неё до оси вращения (рис. 6.10):
Линейная и угловая скорости связаны соотношением v = ωr, тогда
Все точки твёрдого дела движутся относительно неподвижной оси вращения с одинаковой угловой скоростью. Твёрдое тело можно представить как совокупность материальных точек.
Момент импульса твёрдого тела равен произведению момента инерции на угловую скорость вращения:
Момент импульса - векторная величина, согласно формуле (6.3) момент импульса направлен так же, как и угловая скорость.
Основное уравнение динамики вращательного движения в импульсной форме.
Угловое ускорение тела равно изменению угловой скорости, делённому на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло: Подставим это выражение в основное уравнение динамики вращательного движения 
отсюда I(ω 2 - ω 1) = MΔt, или IΔω = MΔt.
Таким образом,
ΔL = MΔt. (6.4)
Изменение момента импульса равно произведению суммарного момента сил, действующих на тело или систему, на время действия этих сил.
Закон сохранения момента импульса:
Если суммарный момент сил, действующих на тело или систему тел, имеющих неподвижную ось вращения, равен нулю, то изменение момента импульса также равно нулю, т. е. момент импульса системы остаётся постоянным.
ΔL = 0, L = const .
Изменение импульса системы равно суммарному импульсу сил, действующих на систему.
Вращающийся фигурист разводит в стороны руки, тем самым увеличивает момент инерции, чтобы уменьшить угловую скорость вращения.
Закон сохранения момента импульса можно продемонстрировать с помощью следующего опыта, называемого «опыт со скамьёй Жуковского». На скамью, имеющую вертикальную ось вращения, проходящую через её центр, встаёт человек. Человек держит в руках гантели. Если скамью заставить вращаться, то человек может изменять скорость вращения, прижимая гантели к груди или опуская руки, а затем разводя их. Разводя руки, он увеличивает момент инерции, и угловая скорость вращения уменьшается (рис. 6.11, а), опуская руки, он уменьшает момент инерции, и угловая скорость вращения скамьи увеличивается (рис. 6.11, б).
Человек может также заставить вращаться скамью если пойдёт вдоль её края. При этом скамья будет вращаться в противоположном направлении, так как суммарный момент импульса должен остаться равным нулю.
На законе сохранения момента импульса основан принцип действия приборов, называемых гироскопами. Основное свойство гироскопа - это сохранение направления оси вращения, если на эту ось не действуют внешние силы. В XIX в. гироскопы использовались мореплавателями для ориентации в море.
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела равна сумме кинетических энергий отдельных его частиц. Разделим тело на малые элементы, каждый из которых можно считать материальной точкой. Тогда кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых оно состоит:
Угловая скорость вращения всех точек тела одинакова, следовательно,
Величина в скобках, как мы уже знаем, это момент инерции твёрдого тела. Окончательно формула для кинетической энергии твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, имеет вид
В общем случае движения твёрдого тела, когда ось вращения свободна, его кинетическая энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного движений. Так, кинетическая энергия колеса, масса которого сосредоточена в ободе, катящегося по дороге с постоянной скоростью, равна
В таблице сопоставлены формулы механики поступательного движения материальной точки с аналогичными формулами вращательного движения твёрдого тела.
